Razón de áreas y de volúmenes
Cuando dos figuras son semejantes con razón lineal k, sus áreas y volúmenes NO cambian con k, sino con sus potencias:
Razón de longitudes: k Razón de áreas: k2 Razón de volúmenes: k3
La idea clave: si haces una figura el doble de grande (k = 2), su área se multiplica por 2² = 4 y su volumen por 2³ = 8. ¡No por 2!
Cómo usarlo
- Área de la semejante = área original × k².
- Volumen de la semejante = volumen original × k³.
- Al revés: si conoces la razón de áreas, la razón lineal es su raíz cuadrada (k = √razón de áreas).
Ejemplo resuelto
Dos cubos semejantes con razón de semejanza k = 3. Si el pequeño tiene un área de 20 cm² y un volumen de 5 cm³, ¿cuáles son los del grande?
Área: 20 · k² = 20 · 3² = 20 · 9 = 180 cm².
Volumen: 5 · k³ = 5 · 3³ = 5 · 27 = 135 cm³.
Área = 180 cm² ; Volumen = 135 cm³
Por qué los gigantes no existen: si dobláramos a un animal, su peso (volumen) crecería ×8 pero la fuerza de sus huesos (sección, área) solo ×4. Esta matemática explica límites reales de la naturaleza. ¡La semejanza tiene consecuencias!