Inversa, exponenciales y a trozos · Funciones 4º ESO

Proporcionalidad inversa

y = kx (k ≠ 0)

El producto x·y = k es constante: si una variable se multiplica, la otra se divide. Su gráfica es una hipérbola; el dominio excluye x = 0.

Ejemplo real: a velocidad y tiempo para una distancia fija (más velocidad, menos tiempo).

Función exponencial

y = a · b^x (a > 0, b > 0, b ≠ 1)

b > 1: crece muy rápido (crecimiento exponencial).
0 < b < 1: decrece acercándose a 0 (decaimiento).
Siempre pasa por (0, a), porque b⁰ = 1.

Aparece en interés compuesto, poblaciones, virus, desintegración…

Funciones definidas a trozos

Usan fórmulas distintas según el intervalo de x. Para hallar f(a): mira en qué trozo cae a y aplica esa fórmula.

Ejemplo resuelto

Dada f(x) = ⎰ 2x + 1, si x < 1 ; ⎱ x², si x ≥ 1, calcula f(−2) y f(3).

−2 < 1 ⟹ uso el primer trozo: f(−2) = 2·(−2) + 1 = −3.

3 ≥ 1 ⟹ uso el segundo trozo: f(3) = 3² = 9.

f(−2) = −3 ; f(3) = 9

Cada caso, su regla: las funciones a trozos son como las tarifas (un precio hasta cierto consumo, otro a partir de ahí). Saber en qué tramo estás antes de calcular es una forma de leer bien las condiciones, dentro y fuera de clase.

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