Crecimiento y decrecimiento
Una función crece en un tramo si, al aumentar x, aumenta y; decrece si al aumentar x disminuye y. Donde cambia de crecer a decrecer (o al revés) hay un extremo.
Máximos y mínimos (extremos)
- Máximo: un punto más alto que los de su alrededor (la función pasa de crecer a decrecer).
- Mínimo: un punto más bajo (pasa de decrecer a crecer).
En una parábola y = ax² + bx + c, el extremo es el vértice, en x = −b2a: mínimo si a > 0, máximo si a < 0.
Simetría y periodicidad
- Par (simétrica respecto al eje Y): f(−x) = f(x). Ej.: f(x) = x².
- Impar (simétrica respecto al origen): f(−x) = −f(x). Ej.: f(x) = x³.
- Periódica: se repite cada cierto intervalo T (el periodo): f(x + T) = f(x).
Tasa de variación media (TVM)
Mide cuánto cambia la función, de media, en un intervalo [a, b]. Es la pendiente de la recta secante que une los dos puntos:
TVM[a, b] = f(b) − f(a)b − a
Ejemplo resuelto
Calcula la TVM de f(x) = x² en [1, 3].
f(1) = 1 y f(3) = 9. Aplico la fórmula:
TVM[1, 3] = f(3) − f(1)3 − 1 = 9 − 12 = 82 = 4
De media, la función sube 4 unidades de y por cada unidad de x en ese tramo.
Leer el cambio: la TVM es la idea de "velocidad media" llevada a cualquier función. Entender ritmos de cambio te ayuda a interpretar gráficas de la vida real (precios, temperaturas, seguidores…), no solo ejercicios.