Ecuaciones de grado superior
Para grado 3 o más, la estrategia es factorizar y usar que un producto es cero si y solo si lo es alguno de sus factores:
A · B · C = 0 ⟺ A = 0 o B = 0 o C = 0
Cada factor da una (o varias) soluciones. Una ecuación de grado n tiene como mucho n soluciones.
Dos herramientas para factorizar
- Factor común: si todos los términos tienen x, sácala. Aparece la solución x = 0.
- Ruffini: prueba raíces enteras (divisores del término independiente). Cada raíz a da el factor (x − a).
Ejemplo resuelto
Resuelve x3 − 4x = 0.
Factor común x: x(x2 − 4) = 0. Y x2 − 4 = (x + 2)(x − 2):
x(x + 2)(x − 2) = 0
Cada factor a cero: x1 = 0, x2 = −2, x3 = 2 ⟹ tres soluciones.
Con Ruffini: x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0 tiene la raíz x = 1 (P(1) = 0); al dividir queda x2 − x − 6 = (x − 3)(x + 2), así que las soluciones son x1 = 1, x2 = 3 y x3 = −2.
Divide y vencerás: una ecuación de grado alto da miedo entera, pero factorizada son varias ecuaciones pequeñas que ya sabes resolver. Partir un problema grande en trozos es una estrategia que sirve mucho más allá de las mates.