División, Ruffini y teorema del resto · Polinomios y fracciones algebraicas 4º ESO

División de polinomios

Como en los números: dividendo = divisor · cociente + resto, con el resto de grado menor que el divisor.

D(x) = d(x)·C(x) + R(x)

Regla de Ruffini

Es un método rápido para dividir un polinomio entre (x − a). Se colocan los coeficientes (¡sin olvidar los ceros de los grados que falten!) y se baja–multiplica–suma con a.

El último número que obtienes es el resto; los anteriores son los coeficientes del cociente (de un grado menos).

Teorema del resto y del factor

El resto de dividir P(x) entre (x − a) es P(a).

Consecuencia (teorema del factor): (x − a) es factor de P(x) ⟺ P(a) = 0, es decir, a es una raíz. Esto es la llave para factorizar en la parte 4.

Ejemplo resuelto

Divide P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6 entre (x − 3) por Ruffini.

coef: 1 −2 −5 6 | a = 3
bajo el 1 ·3 = 3 ⟹ −2+3 = 1
1·3 = 3 ⟹ −5+3 = −2
−2·3 = −6 ⟹ 6+(−6) = 0 ← resto

Cociente: x² + x − 2 ; resto = 0. Como el resto es 0, (x − 3) es factor y 3 es raíz.

Comprobación con el teorema del resto: P(3) = 3³ − 2·3² − 5·3 + 6 = 27 − 18 − 15 + 6 = 0 ✓.

Perseverancia: Ruffini parece mágico hasta que lo haces tres veces; entonces se vuelve mecánico y rapidísimo. Si el primer intento sale mal, casi siempre es un cero olvidado o un signo. Revisa, no tires la toalla.

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