Muchas veces no nos interesa un número suelto, sino todos los números entre dos valores: las edades entre 13 y 18, las notas a partir de un 5, las temperaturas por debajo de 0… Esos "trozos" de la recta real se llaman intervalos y semirrectas.
La diferencia está en si los extremos entran o no:
| Nombre | Notación | Desigualdad | Extremos |
|---|---|---|---|
| Abierto | (a, b) | a < x < b | NO entran |
| Cerrado | [a, b] | a ≤ x ≤ b | SÍ entran los dos |
| Semiabierto izq. | (a, b] | a < x ≤ b | solo entra b |
| Semiabierto der. | [a, b) | a ≤ x < b | solo entra a |
Representar un intervalo es pintar en la recta real todos los números que cumplen la condición. La clave está en los extremos:
Ejemplo: el intervalo [−1, 3) (es decir, −1 ≤ x < 3):
El −1 va relleno (entra) y el 3 va hueco (no entra). La línea naranja marca todos los reales del intervalo.
Cuando solo hay un límite y por el otro lado seguimos hasta el infinito, usamos el símbolo ∞. El infinito SIEMPRE va con paréntesis, porque nunca se "alcanza".
| Notación | Desigualdad |
|---|---|
| [a, +∞) | x ≥ a |
| (a, +∞) | x > a |
| (−∞, b] | x ≤ b |
| (−∞, b) | x < b |
Escribe el intervalo (−2, 5] como desigualdad y descríbelo.
El −2 lleva paréntesis ⟹ NO entra. El 5 lleva corchete ⟹ SÍ entra.
En palabras: "todos los reales mayores que −2 y menores o iguales que 5". En la recta, punto hueco en −2, punto relleno en 5, y todo lo de en medio pintado.
Al revés: "x ≥ 3" es la semirrecta [3, +∞) (el 3 entra, paréntesis en el infinito).
Un entorno de centro a y radio r, E(a, r), es el intervalo abierto que rodea a a a una distancia menor que r:
Un entorno es como el alcance del wifi: el router está en el punto a y llega hasta una distancia r en todas direcciones. Todos los puntos "con señal" forman el entorno. Justo en el borde (a±r) la señal ya no entra: por eso el intervalo es abierto.
Ejemplo: E(2, 0,5) = (1,5 ; 2,5). El centro es 2 y el radio 0,5.