Los números reales (ℝ) son todos los números que puedes colocar sobre una recta: los que usas para contar, las fracciones, los decimales y también números "raros" como √2 o π. Para entenderlos bien, vamos a ordenarlos por familias, de la más pequeña a la más grande.
Los de contar: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}.
Los naturales más sus negativos: ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}. Sirven para temperaturas bajo cero, deudas, plantas de un sótano…
Todo número que se puede escribir como una fracción a/b (con b ≠ 0). Incluye a los enteros (3 = 3/1) y a los decimales exactos y periódicos.
Si haces la división a/b, el resultado siempre cae en uno de estos casos:
| Tipo de decimal | Ejemplo | ¿Racional? |
|---|---|---|
| Exacto (acaba) | 3/4 = 0,75 | Sí |
| Periódico puro | 1/3 = 0,333… = 0,3̂ | Sí |
| Periódico mixto | 7/30 = 0,2333… = 0,23̂ | Sí |
| Infinito NO periódico | √2 = 1,41421356… | No (es irracional) |
Pasar el decimal periódico 0,4545… a fracción.
1) Llamamos x = 0,454545…
2) El periodo tiene 2 cifras (45), así que multiplicamos por 100:
3) Restamos la primera a la segunda (la parte decimal se cancela):
4) Despejamos y simplificamos:
Comprobación: 5 ÷ 11 = 0,4545… ✓. Por tanto 0,4545… es racional.
Son los que NO se pueden escribir como fracción. Su decimal es infinito y no periódico: nunca acaba y nunca se repite con un patrón.
Ojo: √9 = 3 no es irracional (es entero). Solo las raíces que no salen "exactas" lo son.
Los reales son la unión de racionales e irracionales. Cada familia está dentro de la siguiente, como muñecas rusas:
A cada número real le corresponde exactamente un punto de la recta, y a cada punto, un número real. La recta no tiene "huecos": está completa.
Imagina una regla infinita. Los enteros son las marcas grandes numeradas; los racionales, todas las marcas intermedias que puedes etiquetar con una fracción; y los irracionales rellenan los puntos que quedan entre medias, esos que existen pero no caen en ninguna marca "bonita". Juntos no dejan ni un solo hueco.
¿Y cómo se dibuja √2, que es irracional? Con el teorema de Pitágoras: un triángulo rectángulo de catetos 1 y 1 tiene hipotenusa √(1²+1²) = √2. Llevando esa hipotenusa sobre la recta, marcas √2 con precisión.